【理系】『13日は金曜日になる確率が1番高い』という噂を理系が本気で証明してみた話
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こんにちは。
ホラー映画は観たことすらないくらい苦手なポロロッカです。
本日は2017年10月13日(金)、つまり、
13日の金曜日
です。
『13日の金曜日』と言えば
- 不吉
- キリストが磔刑にされた日
- チェーンソーを持った怪物が襲って来そう
なんていうイメージがあると思います。
一言で言えば『イヤな日』なわけです。
そしてそんな『イヤな日』だからなのか、
カレンダーを見て「今日って13日の金曜日じゃん」ってなる日がよくあるように感じます。
つまり、
13日が金曜日になってる確率が高いように感じるのです。
まぁでもそんなの気のせいだろうし、おそらく青木まりこ現象とモンティ・ホール問題の複合によるものだろうな、とか思いながら、13日の金曜日についてWikipediaをふむふむ読んでいました。
すると、
どうも聞き捨てならない一文
を見つけてしまいました。
13日の曜日の中で最も多いのは金曜日である
(出典:Wikipedia「13日の金曜日」)
え、マジで？！
今までは「そんな気がしてた」程度だったのに、どうやら数学的にも「13日が金曜日になる確率は高い」ようなのです。
しかし、Wikipediaのページには大した証明は載っておらず……
……これには僕の中の理系の血が騒ぎました。
ということで今日は、
『13日は金曜日になる確率が1番高い』という根拠のない噂を理系的に証明したいと思います。
(出典:13日の金曜日)
もくじ
計算方法のカンタンな説明
おそらくこの記事を読んでくださってる方の大半がこの後の証明部分を読み飛ばすであろうと思うので、とりあえず簡単な方針だけでも最初にチラッと話しておきます。
これを読んだら計算結果の項目まで飛ばして大丈夫です。
まず、今回使うのは指を使って曜日を当てる方法です。
有名なのは「モジュロ演算」
ある任意の年月日に対して、その曜日を当てる というのは「モジュロ演算」という計算法が1番有名です。
細田守監督の超人気アニメ映画『サマーウォーズ』の序盤でも、夏希先輩の誕生日の曜日を健二が当てるというシーンが印象的ですが、その時使われている計算法もこの「モジュロ演算」というものです。
↓出典はこちら↓
しかし僕が普段使ってる方法こそ、このモジュロ演算よりも難易度の低い指を使った方法なのです。
指を使って曜日を当てる とは？
ざっくり言うと、
こんなふうに手の指先と根元に日曜〜土曜までの7日間を割り当てて、生年月日の規則性に従って場所を移していって、最終的に止まったところの曜日がその曜日というやり方です。
(具体的なやり方はあとで紹介します)
そしてこの方法を通して、
「◯◯年◯月13日」が金曜日になる確率が1番高いことを証明していこうというわけです。
サマーウォーズの健二くんと同じく、僕も高校生時代に数学オリンピックの日本代表まであと2問差というところでなれなかった人間なので、ここでこそ当時身につけた能力を活かして社会の役に立とう、と思います。
実際に計算してみた
それでは実際に計算していきます。
暦の性質上、曜日というのはちょうど400年周期で同じことを繰り返しているので、
400年間で各年12月ずつある計4800月のうち、13日が金曜日になる確率を求めます。
今回はその中でも1600年の1月〜1999年の12月の範囲で計算することにします。
1. まずは西暦
それではまず、西暦によってスタート地点を決めます。
(本当は1,2月は西暦マイナス1年しなければいけないんですが、確率的には周期を跨ぐのでしなくても大丈夫なので、今回は省きます。)
この指を使った方法では、スタート地点を
- 1600年代→1(日曜)
- 1700年代→6(金曜)
- 1800年代→4(水曜)
- 1900年代→2(月曜)
と割り当てて、下2桁によってさらに動かしていきます。
スタート地点の移動具合はどうにも数えるしかなかったので100年分数えました。
それがこちら。
つまり、各100年代ごとに、
- 14%の確率で左に3つ動かす
- 14%の確率で左に2つ動かす
- 14%の確率で左に1つ動かす
- 14%の確率で動かさない
- 15%の確率で右に1つ動かす
- 14%の確率で右に2つ動かす
- 15%の確率で右に3つ動かす
ということになります。
(動かして端っこまで行ったら、逆の端に移動させます。7から右に移動させるには1、ってな要領です。)
そして、1600年〜1999年までの400年間で、
100年ごとにスタート地点を動かしてから下2桁による移動をこなした地点を「西暦によるスタート位置」と定めると、その確率は以下のようになります。
つまり、
- 4800ヶ月中56ヶ月は1(日曜)から始まる
- 4800ヶ月中58ヶ月は2(月曜)から始まる
- 4800ヶ月中57ヶ月は3(火曜)から始まる
- 4800ヶ月中57ヶ月は4(水曜)から始まる
- 4800ヶ月中58ヶ月は5(木曜)から始まる
- 4800ヶ月中56ヶ月は6(金曜)から始まる
- 4800ヶ月中58ヶ月は7(土曜)から始まる
ということになります。
これで西暦によるスタート位置は確定しました。
次は「月と日付による移動量」を見ていきます。
2. 次に月日
西暦が決まれば、「何月何日」によって先ほど決めたスタート位置から右や左に移動させるんですが、
ここからは超簡単。
というのも単純に、
- 2,6月→左に3つ
- 9,12月→左に2つ
- 4,7月→左に1つ
- 10月→動かさない
- 1,5月→右に1つ
- 8月→右に2つ
- 3,11月→右に3つ
というだけです。
そして「13日」による移動は
- 左に2つ
ただこれだけなので、以上を合算します。
今回は確率さえ求められたらそれでいいので、
1年のうち何ヶ月はどう移動しなくてはいけないか
だけで求めると、
- 2/12→左に3つ
- 1/12→左に2つ
- 2/12→左に1つ
- 1/12→動かさない
- 2/12→右に1つ
- 2/12→右に2つ
- 2/12→右に3つ
という確率になります。
3. 最後に曜日を求める
では以上のことを踏まえて、
『◯◯年◯月13日』が各曜日に止まる確率
をそれぞれ曜日ごとに求めていきます。
やり方は単純で、
- 求めたい曜日に止まるための「西暦によるスタート位置」と「月日による移動量」の組み合わせを作る。
- それらの条件付き確率の曜日ごとの和を求める。
それだけです。
それらを計算した結果が、こちら！！
まとめると、
- 13日が『日曜日』の確率→687/4800
- 13日が『月曜日』の確率→685/4800
- 13日が『火曜日』の確率→685/4800
- 13日が『水曜日』の確率→687/4800
- 13日が『木曜日』の確率→684/4800
- 13日が『金曜日』の確率→688/4800
- 13日が『土曜日』の確率→684/4800
となりました。
つまり、
『13日は金曜日になる確率が1番高い』ということが数学的に証明されました。
……疲れた。
結論
以上から、カレンダーを見て「今日って13日の金曜日じゃん」ってなる可能性が高いように感じることが、数学的に証明されました。
計算マジでしんどかった。
もし友人や恋人と『13日の金曜日』トークで盛り上がった時は、ぜひこの証明をその人に見せてあげてください！
キモがられること間違いなし！！！
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『3月9日が印象深く感じられる話』はこちらで証明しました
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